Publicaciones con al menos 3 etiquetas de una lista de etiquetas

La respuesta a continuación es simplificada y podría extenderse para verificar si cualquiera de las publicaciones tiene 3 etiquetas coincidentes antes de enviar la lista. Usando una consulta y asumiendo que tienes al menos una publicación con 3 etiquetas coincidentes:

//List of tag slugs
$tags = array('foo', 'bar', 'chocolate', 'mango', 'hammock', 'leaf');

$args = array(
    'tag_slug__in' => $tags
    //Add other arguments here
);

// This query contains posts with at least one matching tag
$tagged_posts = new WP_Query($args);

echo '<ul>';
while ( $tagged_posts->have_posts() ) : $tagged_posts->the_post();
   // Check each single post for up to 3 matching tags and output <li>
   $tag_count = 0;
   $tag_min_match = 3;
   foreach ( $tags as $tag ) {
      if ( has_tag( $tag ) && $tag_count < $tag_min_match ) {
         $tag_count ++;
      }
   }
   if ($tag_count == $tag_min_match) {
      //Echo list style here
      echo '<li><a href="'. get_permalink() .'" title="'. get_the_title() .'">'. get_the_title() .'</a></li>';
   }
endwhile;
wp_reset_query();
echo '</ul>';

EDITAR: Al ajustar la variable $tag_min_match se establecerá el número de coincidencias.

Aquí hay una forma de hacerlo:

Dado un conjunto de 5 etiquetas, {a, b, c, d, e} :

1) En PHP, genere todos los subconjuntos posibles que contengan 3 elementos, sin repetición:

{a, b, c}
{a, b, d}
{a, b, e}
{a, c, d}
{a, c, e}
{b, c, d}
{b, c, e}
{c, d, e}

2) Convierta esos subconjuntos en una consulta de taxonomía masiva:

$q = new WP_Query( array(
  'tax_query' => array(
    'relation' => 'OR',
    array(
      'terms' => array( 'a', 'b', 'c' ),
      'field' => 'slug',
      'operator' => 'AND'
    ),
    array(
      'terms' => array( 'a', 'b', 'd' ),
      'field' => 'slug',
      'operator' => 'AND'
    ),
    ...
  )
) );

El enfoque de sprclldr es el que usé. En cuanto al bucle while, aquí está lo que usé en su lugar:

$relatedPosts = $tagged_posts->posts;
$indexForSort = array();

for ($i = count($relatedPosts) - 1; $i >= 0; $i--) {
  $relatedPostTags = get_tags($relatedPosts[$i]->ID);
  //get the ids of each related post
  $relatedPostTags = $this->my_array_column($relatedPostTags, 'term_id');
  $relatedPostTagsInPostTag = array_intersect($tags, $relatedPostTags);
  $indexForSort[$i] = count($relatedPostTagsInPostTag);
}

//sort by popularity, using indexForSort
array_multisort($indexForSort, $relatedPosts, SORT_DESC);

Luego tomo los primeros puestos:

$a_relatedPosts = array_slice($relatedPosts, 0, $this->numberRelatedPosts);

my_array_column es una función similar a la array_column de PHP 5,5:

  protected function my_array_column($array, $column) {
    if (is_array($array) && !empty($array)) {
      foreach ($array as &$value) {
        //it also get the object's attribute, not only array's values
        $value = is_object($value) ? $value->$column : $value[$column];
      }
      return $array;
    }
    else
      return array();
  }

No responde la pregunta inicial (pero resuelve mi problema de raíz ), como  : si no hay publicaciones relacionadas con 3 etiquetas comunes, esto dará todas las mismas publicaciones.