¿Cómo ordenar las publicaciones por apellido (segunda palabra) solo en UNA categoría?

Tienes 2 formas.

Lo primero es escribir las consultas SQL personalizadas manualmente para su solicitud y hacer un bucle de esos datos.

Lo segundo es hacer un bucle de sus datos en forma estándar, guardar en una matriz multidimensional, filtrar, transformar y reordenar esa matriz a través de PHP de la manera que necesita y después de ese bucle esos datos e imprimirlos como contenido.

Las formas de stand son buenas, pero mi recomendación es escribir una consulta SQL porque es más rápida y limpia.

Como sé, WP no tiene una solución terminada. Necesitas construir por tu cuenta.

Necesitas crear una plantilla personalizada para esa categoría especial y hacerlo allí.