¿Puedo iniciar sesión de manera programática de un usuario sin una contraseña?

wp_set_auth_cookie() registrará a un usuario sin tener que saber su contraseña.

¡El siguiente código hace el trabajo de inicio de sesión automático, sin ninguna contraseña!

// Automatic login //
$username = "Admin";
$user = get_user_by('login', $username );

// Redirect URL //
if ( !is_wp_error( $user ) )
{
    wp_clear_auth_cookie();
    wp_set_current_user ( $user->ID );
    wp_set_auth_cookie  ( $user->ID );

    $redirect_to = user_admin_url();
    wp_safe_redirect( $redirect_to );
    exit();
}

He encontrado otra solución aquí que utiliza un mejor enfoque (al menos en mi opinión...). No es necesario configurar ninguna cookie, utiliza la API de Wordpress:

/**
 * Programmatically logs a user in
 * 
 * @param string $username
 * @return bool True if the login was successful; false if it wasn't
 */
    function programmatic_login( $username ) {
        if ( is_user_logged_in() ) {
            wp_logout();
        }

    add_filter( 'authenticate', 'allow_programmatic_login', 10, 3 );    // hook in earlier than other callbacks to short-circuit them
    $user = wp_signon( array( 'user_login' => $username ) );
    remove_filter( 'authenticate', 'allow_programmatic_login', 10, 3 );

    if ( is_a( $user, 'WP_User' ) ) {
        wp_set_current_user( $user->ID, $user->user_login );

        if ( is_user_logged_in() ) {
            return true;
        }
    }

    return false;
 }

 /**
  * An 'authenticate' filter callback that authenticates the user using only     the username.
  *
  * To avoid potential security vulnerabilities, this should only be used in     the context of a programmatic login,
  * and unhooked immediately after it fires.
  * 
  * @param WP_User $user
  * @param string $username
  * @param string $password
  * @return bool|WP_User a WP_User object if the username matched an existing user, or false if it didn't
  */
 function allow_programmatic_login( $user, $username, $password ) {
    return get_user_by( 'login', $username );
 }

Creo que el código se explica por sí mismo:

El filtro busca el objeto WP_User para el nombre de usuario dado y lo devuelve. Una llamada a la función wp_set_current_user con el objeto WP_User devuelto por wp_signon , una verificación con la función is_user_logged_in para asegurarse de que está conectado, ¡y listo!

¡Un código bonito y limpio en mi opinión!

Esto me funciona bien:

  clean_user_cache($user->ID);
  wp_clear_auth_cookie();
  wp_set_current_user($user->ID);
  wp_set_auth_cookie($user->ID, true, false);
  update_user_caches($user);

Además de Mike, Paul y Sjoerd:

Para manejar mejor las redirecciones de login.php :

//---------------------Automatic login--------------------

if(!is_user_logged_in()){

    $username = "user1";

    if($user=get_user_by('login',$username)){

        clean_user_cache($user->ID);

        wp_clear_auth_cookie();
        wp_set_current_user( $user->ID );
        wp_set_auth_cookie( $user->ID , true, false);

        update_user_caches($user);

        if(is_user_logged_in()){

            $redirect_to = user_admin_url();
            wp_safe_redirect( $redirect_to );
            exit;
        }
    }
}
elseif('http://' . $_SERVER['HTTP_HOST'] . $_SERVER['SCRIPT_NAME'] == wp_login_url()){

    $redirect_to = user_admin_url();
    wp_safe_redirect( $redirect_to );
    exit;
}

Se colocará en wp-config.php justo después

require_once(ABSPATH . 'wp-settings.php');

FYI

Sobre la base de la solución anterior, he lanzado un complemento para mantener al usuario conectado desde una palabra a otra al sincronizar los datos del usuario y la sesión de cookies:

enlace