¿Cómo puedo vaciar la papelera de manera programática?

Puede usar wp_delete_post .

Para obtener todas las publicaciones con el estado "basura":

$trash = get_posts('post_status=trash&numberposts=-1');

Entonces:

foreach($trash as $post)
  wp_delete_post($post->ID, $bypass_trash = true);

Esto no funcionó para mí. Tuve que hacer lo siguiente:

$args = array(
'posts_per_page'   => -1,
'post_status'      => 'trash'
    );

$trash = get_posts($args);

foreach($trash as $post)
{
    wp_delete_post($post->ID, true);      
}